ALMANAQUE BSE 2019_ 207 A la mayoría de nosotros se nos ocurre pen- sar que en la playa hay “infinitos” granos de arena, pero, por más cantidad que haya como los podríamos comenzar a contar y en al- gún momento terminar, entonces no es así. Por otro lado, desde hace muchísimos años existe la idea de que “una línea se puede continuar tanto como se quiera (incluso hasta el “infinito”)”, o un “número se puede hacer tan grande como se quie- ra (si no fuese así, bastaría sumar 1 al supuesto mayor número)”. Pero ¿podemos tener un con- junto de “infinitos” elementos?, ¿ese conjunto lo podremos definir claramente? Con el correr del tiempo los científicos, especialmente los mate- máticos, comenzaron a separar la idea de “infinito potencial” y la idea de “infinito actual”. Infinito potencial Dado cualquier número, si le sumamos uno ob- tenemos un número más grande, por lo tanto, no existe “el mayor número”. En este caso el “infinito” lo podemos interpretar como un proceso reiterati- vo de un sinnúmero de veces. Otra definición po- dría ser: “el infinito potencial es un conjunto sin fin y susceptible de incremento ilimitado” (por ejem- plo, la continuación de la recta), haciéndose ma- yor que toda magnitud establecida previamente. Infinito actual Definido en teoría de conjuntos: si un conjunto tie- ne igual cardinalidad que un subconjunto propio, entonces tiene infinitos elementos. Pensemos un poco en esta definición, “un conjunto tiene igual cardinalidad que un subconjunto propio de sí mis- mo”, estamos diciendo que (al entender la cardina- lidad como “la cantidad de elementos del conjun- to”) un conjunto que está compuesto por menos elementos que otro (por eso es un subconjunto propio) tiene la misma cantidad de elementos. Esta definición es contradictoria para las concep- ciones lógicas y naturales: que si tenemos algo y le agregamos otra cosa el resultado será mayor, o lo que es lo mismo que el todo es mayor que sus partes propias (si preguntamos: ¿qué hay más, nú- meros naturales o números pares?, la respuesta es uniforme: “hay más números naturales”). Acá vemos el infinito como unidad, por ejemplo, el conjunto N = {1, 2, 3, ..., n} tiene la misma cantidad de elementos que el conjunto N0 = {n pertenecien- te a N, tal que n es un cuadrado perfecto}, N0 = {1, 4, 9, 16, ..., n2}, (o sea que en notación matemática #N = #N0)1. Otra definición podría ser: “el infinito actual es un conjunto sin fin, pero bien determinado”. O sea, que si nos hacemos la siguiente pregunta: “¿Qué tan grande es un conjunto infinito?” La respuesta sería: un conjunto infinito es tan grande que si le agregamos elementos sigue teniendo la mis- ma cantidad de elementos (algo ilógico, a prio- ri, para nuestro básico entender); por ejemplo, el conjunto de los números naturales es infinito porque si le agrego los números negativos para construir el conjunto de los números enteros si- gue teniendo la misma cantidad de elementos. Esta posibilidad de entender “lo infinito” llevó du- rante muchos años a rechazar la idea de su exis- tencia, desde la época de Aristóteles se puede encontrar ese rechazo, a causa de las paradojas que planteaba. Santo Tomás de Aquino conside- raba que tal noción implicaba un desafío directo a la naturaleza única, infinita y absoluta de Dios. Desde la iglesia, estas posturas llevaron a los ma- temáticos a no hablar del infinito como cantidad, prefiriendo hablar de él como límite. Gauss escri- bía: “protesto del uso que se hace de una cantidad infinita como cantidad completa, lo que en mate- mática no está permitido. El infinito es sólo una forma de hablar, en la que propiamente debemos hablar de límite." 1 - #N: cardinalidad del conjunto N < El diámetro del Aleph sería de dos o tres centímetros, pero el espacio cósmico estaba ahí, sin disminución del tamaño (…) Jorge Luis Borges, El Aleph »